[들어가며]

안녕하세요. 법률저널 <PSAT Pick>에서 상황판단 문제 중 퀴즈 유형의 문제에 관해 연재를 맡은 전명진 검수위원입니다. 많은 수험생들께서 어려워하시는 퀴즈 유형을 풀이하는 다양한 방법들과 그 출제 원리들을 소개 드리고자 합니다.
 

[오늘의 문제]

이번에는 19년도 5급 공채 시험에 출제되었던 문제 중 하나를 다루고자 합니다. 손가락 셈법을 활용하는 문제는 잊을 만하면 나오는 유형이지만, 많은 수험생분들께서 어렵게 여기고 명확히 풀지 못하는 것이 사실입니다. 대충 끼워 맞추는 대입식 풀이가 아닌 원리를 꿰뚫는 풀이를 이해하고, 추후의 문제에도 적용하실 수 있길 바라면서 이 문제를 골랐습니다.

키워드 : 손가락 셈법, 지산법, 부정방정식, 자연수조건
 

[풀이전략]

① 각 부족의 지산법이 i)무엇을 기준으로 ii)어떻게 서로 다르게 작용하는지 파악하여야 합니다.

② 각 부족별로 한 손으로 표현할 수 있는 숫자의 한계가 서로 다른 것을 파악하는 것이 중요합니다.

③ 손가락을 펴고 접는 행위를 여러 번 반복 시행하는 경우, 이를 간단한 수식으로 표현할 수 있어야 합니다.

④ ‘X한 경우가 나올 수 있다.’라는 표현의 선지를 해결하는 방법은 i)X에 해당하는 사례를 찾거나(긍정), ii)모든 경우의 수를 대입하거나(부정), iii)X가 참일 경우의 모순점을 찾는 것(부정) 입니다. iii)은 귀류법의 활용으로 생각하면 편리합니다.

⑤ 지산법은 자연수 체계이기 때문에 부정방정식이 활용될 여지가 많이 있습니다.

[문제해설]

① 이 문제에서는 “손가락 개수를 더하고 빼는 조건”을 가장 먼저 파악하게 됩니다. A부족의 경우 손등이 보이는지 여부로 합과 차를 가르고, B부족은 엄지 손가락을 폈는지 여부로 합과 차를 가릅니다.

▶ A: 손바닥 보임, B: 엄지 펴짐 >>> 합 (+)

▶ A: 손등 보임, B: 엄지 접힘 >>> 차 (-)

② ㄱ선지의 경우 손바닥이 보이며 손가락이 모두 펴져 있는 것을 상정하였으므로, A, B 모두 합의 계산부호를 가집니다. 이때 A부족은 펴진 손가락 개수 전체를 수로 인지하므로, 5+5+5=15입니다. B부족은 엄지손가락을 제외한 나머지 손가락의 개수를 수로 인지하므로, 4+4+4=12입니다. 따라서 ㄱ은 옳은 선지입니다. (다양한 지산법을 사용하여 한 손의 손가락을 모두 사용하는 경우는 최대 31까지의 숫자를 표현할 수도 있습니다.)

③ ㄴ선지의 경우도 B부족의 계산 방법에서 엄지 손가락은 부호의 표시일 뿐, 수로 인지되지 않는다는 점을 고려하면 두 경우 모두 0임을 알 수 있습니다. 따라서 ㄴ은 옳은 선지입니다.

▶ +0+0+0=0 vs -0-0-0=0

④ ㄷ선지의 경우 동일한 손 모양에 대한 두 부족의 해석 결과를 묻고 있습니다. ㄷ선지의 제일 앞에서 손바닥이 보이는 상황을 상정하였으므로, A부족은 세 번 모두 양의 부호로 인식합니다. 따라서 A부족의 계산 결과는 3+2+1=6이 됩니다. B부족은 엄지 손가락의 상태에 따라 첫 번째, 세 번째는 양의 부호로, 두 번째는 음의 부호로 인식하여 2-2+0=0이 됩니다. 따라서 ㄷ은 틀린 선지입니다.

⑤ ㄹ은 앞서 제시된 개념들을 한 번에 활용해야 명확히 풀리는 선지입니다. 세 번의 손모양에 따라 펴진 손가락의 수를 각각 a, b, c라 가정합시다. (순서는 무관합니다.) 조건에 따르면 엄지는 항상 펴져 있었으므로, B부족을 통해 다음과 같은 계산식을 얻게 됩니다.

▶ B: +(a-1)+(b-1)+(c-1)=9 … ⓧ

B는 펴진 손가락의 수 중 엄지를 세지 않는 다는 점을 고려하면 a, b, c에서 1씩 빼야 함은 자명합니다. 여기서 다음 식을 얻을 수 있습니다.

▶ a+b+c=12

이는 손모양을 세 번 만드는 동안 펴진 손가락의 총 수가 12개임을 뜻 합니다.

⑥ 선지는 A의 계산법으로도 합이 9가 나올 수 있는지를 묻고 있습니다. A의 계산법에서는 펴진 손가락과 관계없이 손바닥의 방향에 따라 부호가 결정되므로, 다음과 같이 식을 만들 수 있습니다.

▶ □a□b□c=9

□에는 손바닥의 방향에 따라 +또는 -의 부호가 들어갈 것입니다. 이때 1≤a, b, c≤5 이므로 다음 두 가지 식 이외에는 가능한 부호의 집합이 없습니다.

▶ ⓨ +a+b+c=9 ▶ ⓩ +a+b-c=9

ⓨ의 경우 ⓧ와 모순이므로 당연히 기각입니다. ⓩ는 x+ⓩ를 통해 모순임을 증명할 수 있습니다.

▶ ⓧ+ⓩ=2(a+b)=21

ⓧ와 ⓩ를 더하면 좌변에는 2(a+b)가 우변에는 21이 나옵니다. a, b, c는 모두 자연수이므로 좌변은 반드시 짝수가 되며, 이는 우변이 홀수인 것과 모순이 됩니다. 즉, 자연수 조건에 의해 ㄹ선지는 불가능한 것임이 명확히 확인되었습니다.

+ a, b, c 중 어느 것 앞에 음의 부호를 붙이건 풀이에는 영향을 미치지 않습니다.
 

[PSAT형 사고]

① 위 문제와 같이 지산법을 활용하는 경우 부호의 부여 방식을 주의 깊게 보아야 하는데, 이번 문제에서 제시된 것처럼 특정 손가락의 펼침 여부, 또는 손바닥의 방향이 가장 대표적으로 활용됩니다. 특정 손가락을 이용하여 부호를 나타내는 경우 다음과 같이 손가락 두 개를 이용하여 사칙연산을 구현하는 것 또한 가능합니다.

▶ 예시: 엄지와 검지를 이용한 사칙연산 표시		엄지
		펼쳐짐	점힘
검지	펼쳐짐	덧셈	곱셈
	접힘	뺄셈	나눗셈

② 한 손가락으로 표현할 수 있는 최대의 수는 31입니다. 각 손가락을 2진법 체계로 이해하고 펼쳐진 경우를 1, 접힌 경우를 0이라 하면 00000(2)에서 11111(2)까지 구분할 수 있습니다. 즉, 0에서 31사이의 숫자를 나타낼 수 있는 것입니다. 지산법을 통해 나타낼 수 있는 수들의 사례를 미리 고민해보는 것이 좋습니다.

③ 제시된 ㄹ선지의 풀이법은 말로 풀이된 지산법을 수식화하여 그 모순을 찾은 것입니다. 찜찜함이 남는 대입식 문제풀이가 아닌, 원리를 파악하고 도식화하려는 습관이 필요합니다. 사실 ㄹ의 조건에서는 합이 9가 아닌 다른 수들의 경우 또한 불가능합니다. 모두 손바닥을 보이는 경우에는 항상 B와 3만큼의 차이가 나며, 한 손을 뒤집은 경우에는 뒤집은 수만큼 빠지게 되므로 a+b+c-3=a+b-c가 성립해야 하고, 2c=3이 되어 언제나 모순입니다.

④ 저는 이 문제의 출제자가 ㄹ선지에서 합을 9로 준 것은 경우의 수 대입과 A부족의 부호 선정을 좀 더 쉽게 할 수 있도록 배려한 것이 아닐까 합니다. 만약 8 이하의 숫자였다면, 손등이 보이는 경우를 두 개까지도 고려하여야 하였을 것이고, 대입에 큰 어려움이 있었을 것이기 때문입니다. 기출문제 해설을 하실 때에는 출제자의 의도와 배려(힌트)를 찾아내는 연습을 꼭 병행하시기 바랍니다.

[마치며]

PSAT든 LEET든 각종 적성검사에 활용되는 대부분의 퀴즈들은 이미 수 없이 재활용되어 온 것들입니다. 대표적인 퀴즈의 명칭만 알면 혼자서도 쉽게 찾아 보고 익힐 수 있으니 포기하지 말고 유형의 범위와 깊이를 넓혀가셨으면 합니다. 질문이나 건의가 있으신 경우 댓글과 이메일(psatpick@gmail.com) 남겨주시면 피드백드릴 수 있도록 하겠습니다.